Exacto, el documento físico no es suficiente, requieren que el certificado de vacunación tenga un código QR y este lleve a una página web que tenga el certificado con idioma en inglés, francés o alemán (la web de "Mi Vacuna" muestra los datos en español y en inglés).
Yo descargué el certificado en PDF y lo presenté en el celular (aunque previamente me habían pedido que lo cargara por la App de Lufthansa), desde el celular leen el QR y verifican el tema de las dosis. Por ejemplo en el vuelo de ida no me hicieron mayor control y solo con haber cargado el documento en la App fue suficiente para el check-in, me llegó correo de confirmación; pero de regreso tenía escala nuevamente en Europa y allí fue mucho más riguroso, porque en el aeropuerto me revisaron una a una cada dosis con fecha de aplicación y corroboraron no solo el PDF que tenía sino también el código QR y esperaron a que cargara la información en la página web del ministerio para verificar que sí era la misma información.
Eso sí, el control siempre fue de la aerolínea, al llegar a destino no me pidieron nunca documentos relacionados con covid ni siquiera en el control migratorio.